الأرقام المركبة والكيان التجريدي للرياضيات

السؤال بتاع هل الأرقام التخيلية موجودة حقاً سؤال محرج،ليس لأن ليس له إجابة ولكن لأن إجابته ستقتضي بأن يتم كشف حقيقة أن الرياضيات كيان تجريدي. الأرقام الحقيقية نعتبرها "موجودة" لأنها تعبر عن كميات فيزيائية، كالقياسيات (الطول وغيره). بينما الوحدة التخيلية ت لا تعبر "مباشرة" عن كمية يمكن قياسها، ولكنها مُعرفة بدقة ولها معنيين، أحدها تجريدي والآخر غير مباشر. أما المعنى التجريدي للتاء، فتخيل خط الأرقام، ولتحوّل رقم واحد لسالب واحد فإنك تقوم بتدويره في نصف دائرة مركزها الرقم صفر. لو توقفت في المنتصف  فهذا هو الرقم ت: العملية اللتي إذا قمت بها مرتين حصلت على الرقم -1، وهي عملية التدوير ربع دائرة. المعنى الغير مباشر فهو أن الرقم ت يمثل دالة دورية مداها* واحد وطورها** تسعون درجة. في الواقع فإن الكيان التجريدي للرياضيات الحديثة لا يعتبر كثيراً بالمعنى ويهتم بالكيفية، فخصائص الأرقام المركبة مفيدة وجوهرية نظرياً وتطبيقيا. أكتشف علماء الرياضيات قيمة التخلي عن المعنى والتركيز على الكيفية منذ أقل من 500 عام وكان لذلك الأكتشاف أكبر الأثر في تطور الرياضيات والعلوم. للأسف لا يبدو أن فكرة التخلي عن المعنى هذه تروق لغير المتخصصين كما لم ترق للرياضيين في البداية. التخلي عن المعنى قفزة قد لا تبدو أنيقة ولكنها ضرورية.بالتالي الرياضيات الحديثة هي دراسة للكيانات التجريدية في حد ذاتها وليس للواقع الفيزيائي. ومما يستحق التدبّر هو أن تلك الكيانات التجريدية، حتى أسخفها وأبعدها عن الواقع ينتهي بعد 50 أو حتى 100 عام بتطبيق عملي في الفيزياء ! للرياضيات رونق داخلي ولكن كما أثبت التاريخ فهو ليس للأستمتاع فقط وإنما كوننا وحياتنا بها نفس الرونق الجمالي لسبب ما. هذا الترابط الغير متوقع بين الكيانات التجريدية وبين الكون والحياة يستحق التدبر في جمال خلق الله.

* مدى = amplitude
** طور = phase
الوحدة التخيلية = i

مشكلة في توليد الأرقام العشوائية بالجافا

for (int i = 0; i < 1000; i ++ )

        {

            Random r = new Random(i);

            System.out.println(r.nextInt(8));

        }

تردد الحروف العربية

أستعملت ثلاثة مقالات، واحدة من ويكيبيديا وواحدة من الجزيرة وواحدة من الأهرام، بمجموع حوالي 22 ألف حرف عربي، لحساب التردد النسبي للحروف العربية. هذا التقدير تقريبي وغير صالح لأي أستخدام علمي، وإنما هو مجرد إشارة.

{ا,إ,أ,آ,ى}→0.181314 ل→0.109845 {ي,ئ}→0.0855272 {ت,ة}→0.0805501 م→0.0645274 ر→0.0538747 {و,ؤ}→0.0534381 ن→0.0475879 د→0.0366732 ب→0.0361493 ع→0.0327876 س→0.0265881 ق→0.0223969 ف→0.0222659 ح→0.0212181 ه→0.0188605 ك→0.0178127 ص→0.0142327 {ج,چ}→0.0137088 ش→0.0109146 خ→0.00912465 ث→0.00873172 ط→0.00868806 ز→0.00563196 ض→0.00554464 ذ→0.00497708 ظ→0.00340537 غ→0.00336171  Created with Wolfram Mathematica 8.0 ثم نزلت القرآن من موقع تنزيل.نت وحسبت تردد الحروف فوجدت الآتي: إاىآأ 0.186902 ل 0.11609 ن 0.0822685 م 0.0813341 ؤو 0.076572 ئي 0.0699051 ه 0.0449529 ةت 0.0386495 ر 0.0379375 ب 0.0348609 ك 0.031538 ع 0.0282571 ف 0.0262801 ق 0.0211335 س 0.0183994 د 0.0179998 ذ 0.0148181 ح 0.0131115 ج 0.00996584 خ 0.00750217 ش 0.0063815 ص 0.00622527 ض 0.00506554 ز 0.00480415 ء 0.00474106 ث 0.00424833 ط 0.00382469 غ 0.00366846 ظ 0.00256282

چ

On Numbers - Abstract Algebra - Imaginary Numbers

While reading in the magnificent book "Princeton Companion to Mathematics" I tend to ponder on the ideas lurking within. I was reading about solving polynomial equations (I.4 §1.2) and the author introduced square root of two in a rather intriguing way. What caught my attention is not only that we needed to prove that it exists (by the intermediate value theorem), but also that it is defined by the sole property that is the number that squares to two (if it exists) and cannot be defined by other means. He intended to highlight that numbers (or solutions) are opaque and all we care about are their properties. More on that in the next paragraph.

Extrapolating on this line of thought, I ended up thinking about the fraction 2/3. It is, in fact, defined to be the number that, when multiplied by 3, gives you 2. That number doesn't exist in the set of integers, much as the same way square root of two doesn't exist in the set of rational numbers. Now think about the number 4/6. It is the number that when multiplied by 6 gives you 4. Although it might look intuitive to someone who went through elementary education, it is still an interesting thing to highlight: it turns out that both numbers, 4/6 and 2/3, are in fact the same number. What we have just stated in the last sentence is a property of both numbers, both of which being solutions to 3x = 2 and 6x = 4, respectively. But behind that, it is actually a property of the solution of the two equations. It shows that their solutions are the same number, even though these solutions (2/3 and 4/6) might look syntactically different. Put in more accurate words: they define the same number.

What is intriguing about this is that the number i (the square root of negative one) is no more artificial than √2. It is just a number, that similarly to √2, which does not exist in the set of rational numbers, is a number that doesn't exist in the set of real numbers. Moreover, as being the square root of two (and nothing more) is the defining property of √2, and as being the number that multiplied by 3n gives 2n (for positive integer n) is the defining property of the number 2/3, so is being the square root of negative one is the defining property of i. All further properties could be derived from this property alone.  This process is abstract in nature; we may not know what the square root of two is. For instance, did you even need to know that √2 = 1.414... in order to perform calculations in high school ? No. All you did need to know was that it squared to two. Quick, what is the solution to 3 + √341 x = 344 ? Simply enough, it is x = √341. Did you need to know the value of √341 to do that ? (I hope not!) Actually, if you've dealt with the value instead, things would have been more confusing and uglier.

The study of this kind of properties of numbers which are defined this way is heart to Abstract Algebra. In fact this is exactly why it is called "Abstract" and "Algebra". Abstract Algebra may look like this: if we take the field Q (the field of all rationals) and adjoin the number √2 to it (in a process called "field extension"), we end up with the new field Q(√2) which have different structure, fully determined by the properties of √2.

"أنتخب أبو الفتوح لأنه صاحب أقوى فرصه في النجاح" - مثال فعلي على التلاعب الإستراتيجي بالأنتخابات‎

توضيح: تفادي تفتيت الأصوات غرض مشروع وأتفق معه، ولكن للإتفاق على الأفضل، وليس على الأكثر شعبية.

توضيح2: أستخدم لفظ "التلاعب بالأنتخابات" وليس "التلاعب بالمنتخبين"، لأنه حتى وإن كان من يقوم بذلك يقوم به عن أقتناع ودون إيحاء أو توجيه من أحد فهو مازال تلاعباً بالنظام الأنتخابي.

توضيح3: لفظ "تلاعب" مقصود به التحايل على المقصود من النظام، حتى وإن كان عن حسن نية. المقصود من نظام الأنتخابات أن يصوت كل فرد بما يراه الأنسب والأفضل، وليس بما يراه الأكثر شعبية.

بسم الله الرحمن الرحيم

كان أحدهم يشجع الناس على عدم التصويت لصباحي والتصويت لأبو الفتوح بأستعمال جمل على شاكلة:

“إنت متخيل إن عندك رفاهية الاختيار لكن الحقيقة إنك بإختيارك لحمدين هيخليك تختار يا مرسي "مجبرا" يا فلول "ودي وحشة في حقك قوي" ففكر بعقلك”

فكان ردي عليه الآتي:

“ما تفعله الآن هو أنك تتعامل مع الأنتخابات إستراتيجياً وهو شئ سئ يهدف مجال تصميم الآليات لجعله مستحيلاً أو صعباً. الهدف من تصميم الآليات هو تصميم آلية (أنتخابية أو غير ذلك) تجبر الناس أن يدلوا بتفضيلهم الحقيقي، بدلاً من تصويتهم إستراتيجياً. شوف المقالة ديه مثلا http://t.co/uPjBnsS8 .المشكلة في كدة أن المرشح اللي ينجح أنصاره في أقناع الأغلبية أن "الأغلبية وراه" هو اللي حيكسب بغض النظر الأغلبية وراه فعلاً ولا لأ !!

عادة التفكير الإستراتيجي حاجة حلوة، بس في الأنتخابات بالذات حاجة وحشة :) أو للتوضيح لكي لا يلتبس الأمر: فكر وخطط إستراتيجياً في المرشح اللذي تراه الأفضل، ولكن لا تخطط أستراتيجاً في التلاعب بنظام التصويت ذات نفسه، حتى لو كان الخِصْم يتلاعب به وما تفعله مجرد رد على كيده. ليه؟ لأنه الأنتخابات لعبة عمياء (simultaneous game)، حيث لا يعرف اللاعبون (أنت وخصومك) لعبة الفريق الآخر إلا بعد النتيجة النهائية، وبعد أن يكونوا قد أختاروا ونفذوا أستراتيجيتهم. يعني أيه؟ يعني ممكن الخصم يتلاعب بيك أنت شخصياً ويوهمك بأنه حيعمل حاجة (وميعملهاش) لمجرد أنه يدفعك أنك تعمل اللي هو عاوزه بدل اللي أنت عاوزه، يبقى كدة تلاعب بيك. (اللي هو بنظام: أنا اشتريت العربية ديه عشان حماتي بتكرهها، حتى لو العربية نفسها مش عاجباني (وممكن تطلع حماتي اوهمتني بكدة وهي فعلا العربية عاجباها!) -- وهذا نظام خطأ لأننا يجب أن نقوم بالاشياء (أي اشياء) لقيمتها لدينا نحن بمعزل عن رأي الآخرين فيها)

قابلة نظم التصويت للتلاعب عيب من عيوبها، ونظرية "آرو" تقول أنه من المستحيل تصميم نظام لا يعاني منها (بصورة مطلقة). ولكن هذا لا يعني أنه لا يمكن تصميم نظام يكون التلاعب به مستحيل "حسابياً" - أي أنه ليس لأحد من الاطراف القدرة الحسابية (الوقت الكافي) لحساب استراتيجيته قبل بدء التصويت.

تحديث:
تغريدة وجدتها على تويتر مؤخراً:

MT @DinaDwidar أرجع و أقول أنا هنتخب #خالد_على مش عشان هيكسب . . أنا هنتخبة عشان يكسب 21/05/12 06:44

تذكرت برنامج للعب الشطرنج رأيته منذ عدة سنوات على الأنترنت وكان يرسم خطوط تعبر عن المسارات اللتي أحتسبتها الخوارزمية بشكل منحنيات برتقالية اللون.

Decision making process and psychology

This is very interesting:

In a 1981 article, they reported results of a study in which 152 students were given hypothetical choices for trying to save 600 people from a disease. Using one strategy, exactly 200 people could be saved for certain. Using another, there would be a one-third chance everyone would live, and a two-thirds chance no one would be saved. Seventy-two percent of the subjects, preferring the less risky strategy, chose the first option. But when the researchers presented 155 other students with the same choice worded differently -- either 400 people would die for sure or there would be a one-third chance that no one would die -- only 22 percent chose the first option.

Daniel Kahneman, a professor of psychology and public affairs at Princeton University, who is also a citizen of Israel, and Vernon L. Smith, a professor of economics and law at George Mason University in Fairfax, Va., shared the Nobel prize in economics in 2002.

أعيدوا التفكير

لما عضو هيئة التدريس في جامعة حكومية بيسافر برة مصر بغرض دراسة الماجستير أو الدكتوراة (حتى لو على حسابه والدولة مش دافعة حاجة) بيبقى من حقه ياخد أجازة "دراسية" بمرتب، بدلاً من أجازة "خاصة" بدون مرتب. السؤال الأزلي: هل حياخد المرتب ده لعدد 5 أو 6 سنين حتى يُنهي دراسته وبعد كدة ميرجعش مصر؟ طب الفلوس ديه حتبقى ضاعت كدة على مصر؟ الحل الأزلي برضه أن الحكومة تعقد إجراءات أي حاجة فيها فلوس.

مبدأيا لازم العضو يثبت دخله بالخارج قد ايه بالضبط، ولازم يجيب حد من قرايبه لحد الدرجة الرابعة (الأب والأم درجة أولى، الأخوة درجة تانية، الأعمام والأخوال درجة ثالثة، أبناء الأعمام والأخوال درجة رابعة!) عشان يمضي تعهد مالي بأن لو العضو ده مرجعش هو حيرجع الفلوس. 

في إجراءات كتير تانية، ويكفي أنك تعرف أني قعدت سنتين في الإجراءات ديه وكل مرة أرجع أجازة أكتشف أن الأجراءات واقفة لسبب عجيب مكنتش أعرفه. لحد ما قرفت وقدمت على أجازة خاصة بدون مرتب "مش عاوز منكوا حاجة". وعلى فكرة محدش منهم قالي أنه ممكن أقدم على أجازة خاصة رغم أني سألتهم، وعرفتها بالصدفة من عضو هيئة تدريس تاني، لولا الصدفة ديه ورق الأجازة الدراسية كان واقف ومكانش في حل غير أني أترفد! وحتى لما قلت للموظفة على حل الأجازة الخاصة قعدت تعقدلي في الموضوع وتقولي مش حينفع، ولولا أن عضو هيئة التدريس التاني ده كان خدها فعلاً وقولتلها كدة مكانش الموضوع حيمشي! (مش فاهمهم هو عاوزين أيه يعني !!)

المهم عاوز أتكلم في نقطة مهمة جداً. الإجراءات ديه معقدة وبتطفش العقول المصرية وتدفعهم للهجرة، يعني لو في باحث كويس يقدر يشتغل برة حيسيب البلد، واللي حيفضل في البلد ويمشي في الإجراءات ديه واحد من أتنين: يا أما باحث كويس وفعلاً يهمه البلد أكتر من نفسه، يا أما باحث مش كويس بدليل أنه مش عارف يجيب أي شغلانة تانية برة وأمله الوحيد في أكل العيش هو أنه يمشي في الأجراءات ديه. الباحثين اللي من النوع الأول قليلين جداً فالمعظم من النوع التاني. يعني النظام مُجهز بحيث أن الكويسين يطفشوا والمش كويسين يفضلوا. ديه نقطة سلبية. بس طبيعي أي نظام له سلبياته وإيجابياته اللي بيتم المفاضلة بينهم، إيجابية النظام ده أنه مش حيخلي حد يسرق البلد وياخد مرتب 6 سنين وميرجعش. المشكلة بس أن مرتب 6 سنين اللي حيهرب بيه ده ميجيش 28 الف جنيه (تمانية وعشرين ألف جنيه) بس. رقم مش كبير؛ يعني لو سهلت الإجراءات ويسرت على المسافرين يتعلموا دول، في نسبة منهم حترجع لأن الإجراءات يسيرة، وفي نسبة (فاقد) مش حترجع. خسرت شوية فلوس (طز) بس المهم كسبت شوية عقول قاعدة معاك 40 سنة قدام تعلم وتعمل أبحاث.

هل فعلاً المبلغ الزهيد ده أهم من رجوع العقول المصرية؟ اللي بيحصل أنه في الحكومة مينفعش يبقى في فاقد، وأي مبلغ ضايع لازم يرجع وإلا يبقى في فساد بيحصل من تحت لتحت. يعني لو قريب العضو اللي مرجعش ده مدفعش المبلغ اللي اتصرف عليه، يبقى الموظف المسئول هو اللي حيتحاسب ويتبهدل. يعني خوفاً من الفساد المالي تم تطفيش معظم العقول المصرية. بس هل ده فعلاً خلانا حكومتنا طاهرة نقية؟ مظنش... أمال أيه الحل؟

في رأيي أنه الأفضل هو السماح بالفساد، في 5 حيسرقوا، بس في المقابل في 50 عالم مصري حيلاقوا الإجراءات سهلة ويرجعوا. المفاضلة هنا ما بين أهمية الـfalse-positive والـfalse-negative. هل الأهم نمسك كل فاسد ونطفش العلماء البريئين ولا الأهم منطفشّ العلماء البريئين في مقابل إن في كام فاسد حينجح في سرقة (28 ألف جنيه على كل عالم يهرب!)... 

Why use lemmas and sublemmas?

Copying from :  http://gowers.wordpress.com/2011/10/07/basic-logic-tips-for-handling-variables/#comment-12274 by Terrance Tao

This is one reason why it is good, when writing a lengthy argument, to encapsulate parts of the argument into lemmas and sublemmas, so that variables that are created for the sole purpose of proving one of these lemmas are automatically removed from the scene by the end-of-proof symbol, thus reducing clutter in the ambient “namespace”. (This is also why it is bad form to “reach into” the proof of such a lemma and use statements that involve variables whose scope is limited to that proof, to assist an argument outside of that proof.)

Leaky Bucket and Token Bucket

Just a quick note to self. Both are used for traffic policing (shaping), even in a simulated setting.
The main difference is that the Token Bucket allows bursts, while Leaky bucket doesn't. 

مقالة قديمة

كنت أقلب أوراق دروس الفرنسية القديمة اليوم، ووجدت فيهم مقالة قديمة مكتوبة بخط اليد (بالعربية) وهذه التدوينة تنقلها هنا (بدون تنقيح لغوي). لا تنسوني من دعائكم.

نحن أمة لم نوجد للهو بل وجدنا للعمل وإعمار الأرض. لم يمنعنا الله من وسائل اللهو المشروعة ولكن ليس هدف وجودنا على قيد الحياة هو أن نلهو. معنى ذلك أننا لا نذهب إلى العمل من أجل إحراز المال لننفقه على اللهو والراحة، بل أننا نعمل لنعمر الأرض ونطيع الله ونستعين بأرزاقنا على نفقات الحياة من مأكل ومشرب ونتصدق منه وندفع الزكاة. فنحن نُسأل عن مالنا من أين أكتسبناه وفيم أنفقناه ونُسأل أيضاً عن شبابنا فيم أفنيناه. فإن كنا أفنيناه لجمع المال للهو والنزهة والترف وما إلى ذلك حتى وإن كان من المتع الحلال فإنه لن يضيف إلى ميزانك إلا طول الحساب لأن من كثر ماله طال حسابه. وإن كان من أجل الله والعمل والأستعانة على ظروف الحياة والتصدق بارك الله فيه وزادك منه وأصبح معونة لك على دنياك ودين لك في آخرتك. فأتقوا الله وأتقنوا العمل ولا يكونن هدفكم لهو مؤقت في الحياة الدنيا فإن ما عندكم فان وما عند الله باق فأتقوا الله العظيم ينصركم وأستغفروه يغفر لكم.

العصيان المدني الغير معلن في مصر

نشأت على رؤية كل محاولة نظامية للإصلاح تفشل، وأي محاولة رقابية تفشل، وأي محاولة لفرض أي النظام تفشل. وعلينا التدبر في ذلك. أي نظام ما هو إلا عبارة عن مجموعة أفعال تقود لمجموعة نتائج. الرقابة تؤكد على حصول النتائج، ولكن لا تؤكد على حصول الأفعال؛ ذلك بأنه الأفعال «غير منظورة» والنتائج «منظورة». وقد تكون النتائج صورة سطحية تخبئ في طياتها الغير منظورة العديد من التقصيرات.كمثال عرض تخرج دفعة الظباط الأحتياط هو تمثيلية لا تعكس كفاءتهم؛ عارضي الكاراتيه لم يتدربوا على سواه، ولم يعرف عن الكاراتيه حرف ممن لم يعرضوه. ونفس المشكلة موجودة حتى في نظم الأمتحانات الدراسية فهي ليست بالضرورة عادلة، قد لا تعطي صاحب الحق حقه وقد تعطي فاقد الحق ما ليس له حق فيه، وقد تخصص بعض الطلبة «المتفوقين» إسما، في تقويض نظام التقييم ذلك، بأساليب ليس من ضمنها التعلم بأي مفهوم له، وليس بالضرورة أساليب غير قانونية كالغش. نقطتي هي أنه في أي نظام فيه عامل بشري، لا فكاك من الأعتماد على الضمير البشري، لأن الإنسان فاقد الضمير، مازال لديه العقل ليخدع به نظم التقييم، وفعليا لا بد من الأعتراف بأنه من المستحيل أبدا توظيف البشر كآلات وإجبارهم على العمل كما يجب وهم كارهون، مهما تشددت نظم الرقابة، بل على العكس، فسيتفننون في خداعها. وذلك الخداع ليس بالضرورة عن سوء نية، ولا حتى عن وعي، ولكن قد يكون بسبب فقدان النظام القائم للشرعية، مما يقود للـ «العناد»، كنوع من العصيان المدني الغير معلن. وكمثال ملموس: لماذا رفض كثير من الناس ربط حزام الأمان في سياراتهم عندما تم إقرار القانون؟ أليس عناداً في المشرع؟ ألم تر بنفسك كيف يربطونه قبل اللجنة بعدة أمتار ثم يفكونه بعدها بعدة أمتار، وهم في نشوة كأنهم أثبتوا لأنفسهم أنه نظام فاشل ونجحوا في خداعه؟ وفي هذا السياق أعتبر مصر فعليا في حالة عصيان مدني غير معلن منذ عقدين على الأقل، وهذا يفسر تردي حالة التعليم والصناعة والأقتصاد. فلتنظر كيف يتفنن الموظف في الإمضاء في كشف الحضور والأنصراف (المنظور) ثم تعذيب المواطنين فيما بينهما (الغير منظور)؟ أو كيف يتفنن مدرس الجامعة في الضغط (غير منظور) على طلبته لينشروا أبحاثهم بأسمه زوراً (منظور)؟ تلك الأزواجية تسببت في تراكم طبقة من النفاق في نفس المواطنين تدخلت -للأسف- حتى في حياتهم الشخصية، فأصبحوا يركزون على المظاهر وما سيقوله فلان وعلان عنهم، عوضا الأهتمام بجوهرهم، ولا حتى بأصهارهم. وتسبب أيضا في تفشي ظواهر أخرى عديدة في المجتمع منها ظاهرة «أنا ومن بعدي الطوفان»، حيث تمحور أهتمام الفرد (أو بالأحرى تم تدريبه لا شعورياً) في النجاة بنفسه وذويه في خضام ذلك النظام الغير عادل. وكلمة العدالة هنا تثير نقطة هامة جدا، فلا يذكر العدل إلا ويذكر معه القضاء. وأقول لكم النصيحة الآتية بكل إخلاص: النظر في المرأة ثلاث مرات كل يوم والتكرار «قضاء مصر شامخ» لا تجعل الجملة صحيحة بالضرورة وسأقول لك دليلاً واحداً: بصفتك مصرياً تقرأ هذه المقالة فأنت تستخدم أحد مقدمي خدمة الأنترنت المصريين، بما فيهم واحداً معيناً يقدم خدمة سيئة للغاية على عكس ما تم الأتفاق عليه، لو كنت تظن قضاء مصر شامخاً فعلا فلتقدم فيه دعوى قضائية بمخالفة العقد والمطالبة بالتعويض وسأكون سعيداً للغاية لو نجحت، خصوصاً لو نجحت في أدنى من سنتين! ليس فقط المشكلة في بطء العدالة (إن كانت صحيحة) ولكن أيضا في تطبيقها، فكم من قرار صحيح لم يتم تطبيقه! التطبيق جزء لا يتجزأ من العدالة، وبدون عدالة لا يأمن الإنسان على نفسه، وبدون أن يأمن الإنسان على نفسه لن يحرص على غيره، ولو لم يحرص على غيره قد لا يرضي ضميره في عمله، وبما أنه يعلم يقينا أن نظام العدالة لا يعطي أحداً حقه فهو يعلم أنه قادر على خداع نظام التقييم (المُعبر عن العدالة بصورة أخرى).

فكرة المقالة نشأت من عدة تغريدات لي على تويتر.

11 Bitcoins = 1 $ !!

By pure coincidence as I was running through the list of stack exchange sites I found a site called Bitcoin. I didn't understand what was it at first but when I looked it up in wikipedia it turned out to be an e-cash P2P system. Wikileaks, freenet, and another company already use it for reception of donations and for investments according to wikipedia. It even has an exchange rate to US dollars. The original paper is http://bitcoin.org/bitcoin.pdf and there are other more recent papers.
#WOW

Proof that np=mq and mn>0 implies pq>0

Implicit assumptions: q != 0 (p/q is a rational number).

This is a proof that mn>0 as a definition that a rational number m/n is "positive" is a well-defined with respect to equivalence classes of rational numbers. I.e. if p/q is in the same equivalence class of m/n (i.e. np=mq) and m/n is positive (mn>0) then p/q is also positive (pq>0).


First, np=mq => np-mq=0, but since mn>0 (neither m nor n is zero), and that q!=0 (by definition), then p!=0. So one of pq<0 or pq>0 is true. Assume the former towards a contradiction. First let p>0 and q<0 and let q=-q' where q' is positive. Then 0=np-mq=np+mq', but all of these are positive, so they cannot equal zero: contradiction. Same argument for p<0 and q>0, we end up with 0=-np'-mq, but the right hand side is negative: contradiction. So pq<0 cannot be true, therefore pq>0.